MMmm a ver no tengo mucho tiempo y voy a responder solo a lo que se seguro xDD
Rootear es convertirte en el administrador del dispositivo, es decir , los móviles android, normalmente no te dejan hacer ciertos cambios, como peude ser velocidad del procesador y otros. Pues podrían dañar el sistema. Al rootear el móvil tu te conviertes en el máximo administrador del dispositivo y puedes manejar completamente cualquier cambio y dar permisos a las aplicaciones para que lo hagan.
Rootear no es bajarse aplicaciones gratis ni nada.
Es más, las aplicaciones gratis en android es de lo más fácil que hay y no hay que ser root ni nada. Con que busques en google el archivo .apk de la aplicación y lo descargues ya la tienes, gratis. Y incluso existen apps como el aptoide que te ahorran la búsqueda.
Y una ROM es como por decirlo de alguna forma "La variante de android que tienes" es decir, android es un sistema basado en linux pero para cada dispositivo tiene una interfaz gráfica y unas variantes d ecódigo diferente, para soportar mejor el hardware , optimizar rendimiento etc...
Las rom "cocinadas" son normalmente versiones de android diseñadas por usuarios del móvil para este mismo, para mejorar rendimiento o añadir funciones , cambiar los gráficos etc... de las roms más conocidas esta por ejemplo Cyanogen Mod.
Una rom también por ejemplo se usa si tu móvil no tiene actualización X versión, hay gente que hace una rom de tal version para tu móvil.